概要

https://www.typescriptlang.org/tsconfig#noImplicitAny

{
  "noImplicitAny": true
}

暗黙的にanyになる値をエラーにします。
anyは型の機能が一切効かなくなる型な上にanyはどんどん他のオブジェクトの型に侵食して増殖するので、基本的に使わないに越したことはありません。

詳細

const obj = {};
const hoge = obj["hoge"];

const arr = [];
const item = arr[0];

このコードの定数hogeは型がanyになります。
また、arrはany[]になります。

これらはこのオプションをtrueにすると以下のようなエラーでコンパイルが失敗します。

index.ts:14:14 - error TS7053: Element implicitly has an 'any' type because expression of type '"hoge"' can't be used to index type '{}'.
  Property 'hoge' does not exist on type '{}'.

14 const hoge = obj["hoge"];
                ~~~~~~~~~~~

index.ts:16:7 - error TS7034: Variable 'arr1' implicitly has type 'any[]' in some locations where its type cannot be determined.

16 const arr1 = [];
         ~~~~

index.ts:17:14 - error TS7005: Variable 'arr1' implicitly has an 'any[]' type.

17 const item = arr1[0];

エラー回避するために

回避するためには、以下のように明示的に型を書くようにします。

const obj: Record<string, number> = {};
const hoge = obj["hoge"];

const arr1: string[] = [];
const item = arr1[0];

あとは、下記のように関数の引数なども同様です。

noImplicitAny - TypeScript Deep Dive 日本語版

逆に明示的に指定すれば OK

const obj: any = {};
const hoge = obj["hoge"];

const arr: any = [];
const item = arr[0];

逆に、上記のように明示的に指定する場合もコンパイルが通ります。
つまり、「あんまり何も考えてないけど気づかないうちにanyになっちゃった」みたいな状態を避けることができます。