概要

https://www.typescriptlang.org/tsconfig#target

"target": "ES5"

指定できる値はこちら

ES3 (default)
ES5
ES6 (もしくは ES2015)
ES7 (もしくは ES2016)
ES2017
ES2018
ES2019
ES2020
ESNext

コンパイルのアウトプットとして、どのバージョンの JS を出力するかを指定します。
つまりデフォルトのES3であれば、コンパイルの結果出力されるのは ES3 に準拠している JS コードということになります。

本番のコードが古い環境で実行される場合（古い IE に対応しなくてはならない、など）はそれに応じた古い仕様を指定し、新しい環境であることが保障されている場合（サーバにインストールされた Node.js など）はそれに応じたより新しい仕様を指定すると良いでしょう。

公式のドキュメントでは「最近の標準的なブラウザは ES6 までサポートしてるから、targetの値もES6が良いと思うよ」と書いてあります。

このオプションの値によってlibのデフォルト値が変わります。詳しくはそちらのページで。

詳細

"target": "ES3"

const func = async () => {
  return new Promise((resolve) => {
    setTimeout(() => {
      resolve("5秒経ちました");
    }, 5000);
  });
};

だとしましょう。
これをコンパイルした結果はこちら。

コンパイル結果

"use strict";
var __awaiter = (this && this.__awaiter) || function (thisArg, _arguments, P, generator) {
    function adopt(value) { return value instanceof P ? value : new P(function (resolve) { resolve(value); }); }
    return new (P || (P = Promise))(function (resolve, reject) {
        function fulfilled(value) { try { step(generator.next(value)); } catch (e) { reject(e); } }
        function rejected(value) { try { step(generator["throw"](value)); } catch (e) { reject(e); } }
        function step(result) { result.done ? resolve(result.value) : adopt(result.value).then(fulfilled, rejected); }
        step((generator = generator.apply(thisArg, _arguments || [])).next());
    });
};
var __generator = (this && this.__generator) || function (thisArg, body) {
    var _ = { label: 0, sent: function() { if (t[0] & 1) throw t[1]; return t[1]; }, trys: [], ops: [] }, f, y, t, g;
    return g = { next: verb(0), "throw": verb(1), "return": verb(2) }, typeof Symbol === "function" && (g[Symbol.iterator] = function() { return this; }), g;
    function verb(n) { return function (v) { return step([n, v]); }; }
    function step(op) {
        if (f) throw new TypeError("Generator is already executing.");
        while (_) try {
            if (f = 1, y && (t = op[0] & 2 ? y["return"] : op[0] ? y["throw"] || ((t = y["return"]) && t.call(y), 0) : y.next) && !(t = t.call(y, op[1])).done) return t;
            if (y = 0, t) op = [op[0] & 2, t.value];
            switch (op[0]) {
                case 0: case 1: t = op; break;
                case 4: _.label++; return { value: op[1], done: false };
                case 5: _.label++; y = op[1]; op = [0]; continue;
                case 7: op = _.ops.pop(); _.trys.pop(); continue;
                default:
                    if (!(t = _.trys, t = t.length > 0 && t[t.length - 1]) && (op[0] === 6 || op[0] === 2)) { _ = 0; continue; }
                    if (op[0] === 3 && (!t || (op[1] > t[0] && op[1] < t[3]))) { _.label = op[1]; break; }
                    if (op[0] === 6 && _.label < t[1]) { _.label = t[1]; t = op; break; }
                    if (t && _.label < t[2]) { _.label = t[2]; _.ops.push(op); break; }
                    if (t[2]) _.ops.pop();
                    _.trys.pop(); continue;
            }
            op = body.call(thisArg, _);
        } catch (e) { op = [6, e]; y = 0; } finally { f = t = 0; }
        if (op[0] & 5) throw op[1]; return { value: op[0] ? op[1] : void 0, done: true };
    }
};
var func = function () { return __awaiter(void 0, void 0, void 0, function () {
    return __generator(this, function (_a) {
        return [2 /*return*/, new Promise(function (resolve) {
                setTimeout(function () {
                    resolve("5秒経ちました");
                }, 5000);
            })];
    });
}); };

そして次はtargetをES2019にしてコンパイルした結果がこちら。

コンパイル結果

"use strict";
const func = async () => {
  return new Promise((resolve) => {
    setTimeout(() => {
      resolve("5秒経ちました");
    }, 5000);
  });
};

つまり、es3に準拠させる場合は async や Promise が存在しないので、レガシーな JS コードで async や Promise を再現する Polyfill を手前で生成して、それを使用して元のコードを再現している、そしてes2019に準拠させる場合は、async や Promise はすでに標準で組み込まれているので、そのまま出力されるということです。

ここは TypeScript のコンパイルというよりは Babel 的な役割ですね。